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HI&LOWギャンブル
麻雀とはぜんぜん関係ないですが、ここ数日とあるスマホゲームにはまってました。
タイトルは「うちの魔王さま - さすゆう2 - タップRPG -」というゲームです。

よくあるキャラを育成する系のゲームです。
敵を倒す→金が入るので、それでキャラを強化→より深い階層の敵を倒してより多くの金・強化を行う
という流れです。

それでミニゲームとして、HI&LOWのギャンブルゲームがついているのですが、これを今回研究してみました。

HI&LOW仕様
・持ち金のうちn%(nはプレイヤー側で任意に設定可能)をベットする。
・トランプで敵のカードを見て自分のカードが伏せられてる状態で、自分のカードが敵カードよりHI(高い)かLOW(低い)かを当てる。(ただし、同数字でのDRAWは起こらない。)
・HI&LOWを当てられたらベットした金額の倍がプールされる。外したらベットした金額を失って1ゲーム終了。
・当てた場合はプールした金額を再度ベットして再度HI&LOWギャンブル(前ゲームとは用いるカードは独立)をするダブルアップをするか、ダブルアップしないかを選択できる。
・ダブルアップをしなければプールされた金額を利確できる。
・ダブルアップ回数に制限なし。

また、ゲーム本体の仕様として、
・HI&LOWゲームをやるためには専用チケットが必要。
・チケットは階層ボスを倒したときに一定確率で得られる。

1回の挑戦で倒せるボスは階層数と比例するので、敵が強くて一定以上深い階層にもぐれないならチケット枚数は有限なので、HI&LOWが有限回数しかできない中でいかに多くの金を手に入れられるかがカギになります。

まずはダブルアップなしで1回のHI&LOWの勝率から調べます。
171226-02.png
敵カードが4ならHIを宣言して、自分のカードが2,3なら負けで、5,6,7,8,9,10,J,Q,K,Aなら勝ちなので、勝率12分の10。
敵カードの分布は等確率(つまりすべて13分の1)とすると、1ゲームの勝率が76.9%になります。

なので、76.9%の確率で掛け金が倍になり、23.1%の確率で掛け金を失うゲームなので、かなり割りのいいゲームであることがわかります。
よって、獲得金額の期待値だけなら全額をベットするのが正着になりますが、全額ベットして負けてしまったら種銭が尽きて敗走…ということになってしまいます。
全額ベットみたいな極端な例は考えないにしても、あまりに多くの金額を賭けてしまうと、負けた場合に次回以降の種銭がなくて、十分に稼げない、ということも往々にして起こりえます。
また、種銭がなくなるのを恐れて少額をベットしても割のいいギャンブルを活かせず、あまり金を増やせないままチケットを使い切るということもあります。
なので、より確実により多くの金額を稼げるベット金額(持ち金に対する割合)とダブルアップ回数を探ることになります。

今回はベット割合とダブルアップ回数を固定にしたときに、有限回(今回は50回とする)後の持ち金がどうなるか(現在持ち金を1としたときに何倍に増えたか)をシミュレーションしてみます。(ゲーム自体は超単純なので、シミュレーションとはいっても大したものではないです。)
モンテカルロシミュレーションに繰り返し回数は10000回です。
171226-03c.png

先ほど述べたように1回のゲーム自体は期待値プラスの割のいいゲームなので、より多くベットして、ダブルアップもたくさんする方が平均獲得金額は大きいです。
ただ、より「確実に」稼ぐという観点だと、中央値(平均的な勝ち負けパターンでいくら残るか)もしくは下位5%分位点(負けが込んで悪い結果だった場合でも最低限稼げる金額)の方が重要になります。

↑の表の中の中央値と下位5%の点を見る限り、持ち金の20%~40%を毎回ベットして、3回ダブルアップする、という戦略がバランスがよさそうです。
ベット割合30%、ダブルアップ3回だと、平均的な勝ち負けパターンで50ゲーム後に1315万倍に持ち金が増える、悪いパターンを引いても1743倍にはなってくれる、という感じです。
チケット枚数が限られている中で、割のいいギャンブルをたくさんするためにダブルアップ回数は増やすけれども、その代わりベット金額を落としてバランスをとるような感じです。

というわけで、ベット割合30%、ダブルアップ3回で実際にゲームしてみたのがこちら。
171226-01.jpg
左上が持ち金で1→1,000(K)→1,000,000(M)→1,000,000,000(B)→1,000,000,000,000(T)→以下1000倍ごとに(AA)→(BB)→…→(ZZ)→(AAA)→(BBB)→…で、現在(MMM)まで増えた。

通常プレーでは600階層あたりで通常ドロップ金額が頭打ちになり、キャラの強化効率が悪くなって敵を倒せず撤退、という感じだったのが、
序盤から積極的に最適プレーのHI&LOWで持ち金を倍々に増やしていったところ、キャラの強化スピードが敵の強くなるスピードを上回るという現象が発生。より深い階層に潜れた分、使えるチケットが増えてより金を増やせるという好循環になりました。
もはや育成ゲームよりもHI&LOWの方がメインになってしまいました。

これで、このゲームは攻略できたことにしておこう。

それにしても、ゲームの攻略までできるモンテカルロシミュレーションとかExcel VBA先生は素晴らしいですな。
統計とかプログラミングとかを勉強した甲斐があったもんです。
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