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誤差の分割
誤差に関して数式で表してみます。

まず記号定義

・n…シミュレーションの回数
・S_i…i回目のシミュでの得点を表す確率変数。
・T…n回のシミュから出てきた平均得点
この定義より
122501.png
であり、
誤差を標準偏差(または分散)で表すものとすると、それはVar(T)で表せます。
122502.png
(2行目から3行目は各S_iが独立同分布より。)

以降S_iを単にSとおいてVar(S)について考えていきます。

記号定義続き
・A_1…1局がロン和了で終わる事象
・A_2…1局がツモ和了で終わる事象
・A_3…1局が放銃で終わる事象
・A_4…1局が被ツモで終わる事象
・A_5…1局が横移動で終わる事象
・A_6…1局が聴牌流局で終わる事象
・A_7…1局がノーテン流局で終わる事象
各A_iは排反事象です。

・K_1…1局がロン和了時の得点
・K_2…1局がツモ和了時の得点
・K_3…放銃時の得点
・K_4…被ツモ時の得点
・K_5…横移動時の得点
・K_6…聴牌流局時の得点
・K_7…ノーテン流局時の得点
Kについて、失点の場合は負の値をとります。

これらを使うと、
122401.png
(1_{A_i}は事象A_iが起こったとき1、そうでないとき0となる確率変数)

・p_i=Pr(A_i)…各事象が起こる確率(真値)

すると、
122504.png
(2行目から3行目は期待値を条件付き期待値に分割の公式?より、3行目から4行目はi≠jのとき1_{A_i}の部分が0になることから)

というわけで、
p_iとかE[K_j^2|A_j]とかE[S]とかがわかれば誤差が大体出ます。

このうち、p_iとE[S]についてはシミュで出てきたロン和了率等(p_i^~)、や得点期待値Tで代用します。
そのこころは、

・p_i(真値)とp_i^~(標本値)との誤差は10%以内ぐらいには収まってくれるであろうという希望的観測(十分なシミュレーション回数をとっていれば標本ロン和了率が20%なら18%~22%ぐらいに真値は入ってるであろう)
ということからこの部分で誤差の誤差が10%くらいの範囲に収まってくれるだろうということ(誤差の厳密な値はそれほど重要でなく、有効一桁くらいで求まってくれれば十分だろうという思想。)

・数値的にはE[S]^2よりE[K_j^2|A_j]たちの方が大きくなりやすいので、E[S]の部分の誤差は大したことない

というところです。

あとはE[K_j^2|A_j]のところですが、これはシチュエーションによって異なってきますが、
各事象に分割してる分、見積もるのは(データと集計用プログラムがあれば)比較的高精度かつ容易にできます。

具体的な計算は…

今日は飽きたのでまた次回ということで。(たぶん年末年始の休み中に。)
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コメント

No title
誤差理論について教えていただきありがとうございました。
数学専攻ではないのですが、丁寧に式変形が書いてあるので何とか式を追うことができました。
ですが、正しく理解しているか不安なので、お手数ですが2点ほど質問させて下さい。

1つ目は式の最終行ですが、pi→pjでよろしいでしょうか。
2つ目は、E[K_j^2|A_j]はA_jが起こった条件でのK_j^2の期待値ということだと理解してますが、この期待値計算のA_jは(A_j|個々の事象)ということでよろしいでしょうか。
例えば、K_3(放銃点)は-1000点だったり-8000点だったりするわけですが、実際の理論計算ではそれらも一つ一つ個々に分けることで合ってますかという意味です(式では単にK_3と書かれていますが)。

次回の更新も楽しみにしています。
Re: No title
コメントありがとうございます。
> 1つ目は式の最終行ですが、pi→pjでよろしいでしょうか。

はい、本文中のは単純ミスですみません。
(投稿してから気づいたけど直すのが面倒なのでほっといたというものぐさ発動)

> 2つ目は、E[K_j^2|A_j]はA_jが起こった条件でのK_j^2の期待値ということだと理解してますが、この期待値計算のA_jは(A_j|個々の事象)ということでよろしいでしょうか。

(A_j|個々の事象)という書き方は存じ上げないのでなんとも…
そもそも確率変数K_jはA_jの事象が起こった場合以外には意味をもたないので(事象A_j以外の部分の定義をどうしようが関係ないので)、E[K_j^2|A_j]が単にロン和了時とか放銃時の期待得失点とみて問題ないです。特に条件付き期待値に難しい意味をこめてるわけではないです。


> 例えば、K_3(放銃点)は-1000点だったり-8000点だったりするわけですが、実際の理論計算ではそれらも一つ一つ個々に分けることで合ってますかという意味です(式では単にK_3と書かれていますが)。
>
あってます。K_jは確率変数(「サイコロの出目」みたいなもの)なので、当然いろんな値をとります。
放銃失点の分布は大体わかる(もしくは集計して出すことができる)ので、期待値の計算もそんなに難しくないです。(とはいえ、電卓とか手計算でできるレベルではないですが。)
そのへんは次回の更新時に出していきます。
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