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誤差ライン備忘録
もう一度誤差についてちゃんと考え直しましょう。

リーチした時の半荘収支等(半荘収支or段位pt。以下同様)のシミュレーション値をX_1、ダマにした時の半荘収支等のシミュレーション値がY_1として、
リーチした時の半荘収支等の真の値がμX、ダマにした時の半荘収支等の真の値がμYとします。

知りたいのはμX-μYの値ですが、真の値は知りえないので、シミュレーションで観測されたX_1-Y_1がどの程度の範囲を動くかでμX-μYを推測しに行く(もしくはどの範囲の数値を取り得るかを求める)ような感じでしょうか。

X_2=μX-X_1
Y_2=μY-Y_1
で定義すると、X_2(Y_2)はリーチした時(ダマにした時)の真値とシミュレーション値の誤差を表しています。
ここまではいいとしましょう。

すると、
(X_1-Y_1)=(μX-μY)-(X_2-Y_2)
両辺期待値と分散を取ると(μX、μYが定数であることに注意すると)、
E[X_1]-E[Y_1]=μX-μY-(E[X_2]-E[Y_2])
Var(X_1-Y_1)=Var(X_2-Y_2)

うーん。μが定数でX_1とY_1がシミュレーションから得られた値ということからすると、
実質X_2-Y_2の取り得る値の問題となってくる気がします。

X_2、Y_2がともに正規分布とすると、X_2-Y_2も正規分布で平均はE[X_2]-E[Y_2]、分散がVar(X_2-Y_2)=Var(X_2)+Var(Y_2)-Cov(X_2,Y_2)

X_2とY_2の共分散ですけどたぶん0にはならないと思います。局収支部分にしても次局以降部分についてもリーチした時に真値より上振れ(下振れ)した時はダマの時も状況的には似てるので、同じように上振れ(下振れ)するような気がします。なので共分散は正。
(これが押しと降りの比較になると両者の挙動がけっこう違うので、絶対に共分散がプラスとは言えないかもしれない。)

仮に共分散がプラスだとするとVar(X_2-Y_2)<Var(X_2)+Var(Y_2)という評価ができます。

これで個々の分散の評価をすれば全体の数値の変動が上から評価できることになります。

X_2の分散は真値とシミュレーション値間の誤差がどれくらい変動するかなので、
前回の議論でやったようにX_2を局収支部分(X_3)と次局以降部分(X_4)に分けて、
Var(X_2)≒Var(X_3)+Var(X_4)みたいな感じでしょうか。
全体の分散はVar(X_2-Y_2)<Var(X_3)+Var(X_4)+Var(Y_3)+Var(Y_4)≒2×(Var(X_3)+Var(X_4))
(XとYの分散が似たようなものなら。)
両方の分散の2倍で抑えてるので標準偏差換算だと√2倍に増えますね。
もう一度標準偏差の方で計算し直さないといけないですが、多分、誤差はもうちょっと大きめに取らないといけなさそう。

局収支部分は1σが局収支200点分で、半荘収支だと0.4~0.6pt相当、段位ptだと0.5pt~1.2pt相当。(点棒状況依存)
次局以降部分は1σが半荘収支だと0.4pt~0.8pt相当、段位ptだと0.4pt~1.6pt相当。(点棒状況依存)

ここから(X_2-Y_2)の標準偏差は半荘収支だと0.8pt~1.4pt相当、段位ptだと0.9pt~2.6pt相当。(点棒状況依存)
1.3σ範囲(8割程度確度)が半荘収支だと1.0pt~1.8pt相当、段位ptだと1.2pt~3.4pt相当。(点棒状況依存)
2σ範囲(9割5分程度確度)が半荘収支だと1.6pt~2.7pt相当、段位ptだと1.9pt~5.2pt相当。(点棒状況依存)

(X_2-Y_2)の取る範囲(95%有意)だとE[X_2]-E[Y_2]±2√(Var(X_2-Y_2))
まだ議論してないのはE[X_2]-E[Y_2]の部分。

E[X_2]-E[Y_2]はリーチした時とダマにした時の真値とシミュレーション値間の誤差の期待値の差。
誤差のそのまた差(リーチとダマ間)をとってさらに期待値だからなぁ…。
0ではないだろうけど、そこまで大きな値にはならんだろう…。リーチとダマ間なら似たり寄ったりだから誤差そのものの値が多少大きくても差を取れば打ち消しあうだろうし。
せいぜい大きくてもσの2割増しくらいじゃね?と勝手に推測。
E[X_2]-E[Y_2]の範囲が±0.2σとすると、(X_2-Y_2)の取る範囲(95%有意)は±2.2√(Var(X_2-Y_2))ぐらい(2.2σ範囲)、(8割程度)だと±1.5√(Var(X_2-Y_2))くらい(1.5σ範囲)かなーと。

160115-01.png

それで、(X_2-Y_2)がその範囲で動くので、観測値の(X_1-Y_1)が±2.2σとか±1.5σよりもでかければ、真値の(μX-μY)はほぼ0より大(or小)だと言えるので、95%有意とか8割程度有意でリーチ(orダマ)が有利、といえるのではなかろうかと。

かなり「仮に」とか「くらいだろう」みたいな推定の表現を使いまくってるけど、数学的なお話はこんなところでいいのではないかなーと。
もっと頭いい人がやってくれるのがいいんだろうけど、なかなかそうはいかないし。

それで線を引きなおしたのが下の表。
160115-02.png
160115-03.png
前のより誤差を大き目に取ってる(分散が約2倍になった影響)でリーチ有利のところはともかく、ダマ有利の結論になってる部分の範囲が狭くなってる。(「微差でわからない」の範囲が広がってる。)
あまりこの傾向はよろしくないけれど、今の私の技量ではこのくらいが精いっぱいです。
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