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レポート1「一向聴時対リーチ押し引き」その8 理論再び
前回ごたごたがあったので再び理論を始めます。変わるのはp(t)の分布を考慮するのと有効牌の枚数を考慮することです。まず有効牌の枚数を考慮するところから始めます。

その6のコメントの返信にも書いたように自分の一順当たり聴牌化率rだとかリーチの1順当たりツモ上がり率pやqなんかを(見えてない有効牌の枚数)/(見えてない牌の枚数)とかで推定することができます。

ただ問題となるのが分子分母ともに順目によって変化するのでこれらのパラメータをtに依存する関数として扱わなければならないことになります。

ここでおことわりですが、上の事情から追っかけリーチ時1順当たりツモ上がり率pはp(t)とか表示することになるのですが、これだとt順目に切る牌の放銃率p(t)とかぶってしまうので、ここでは追っかけリーチ時1順当たりツモ上がり率をu(t)と表します。

議論を始める前に必要となる新しい前提と記号定義をしておきます。
・ツモ順について降り→自分→リーチ者→降りと固定します。自分やリーチ者が親だったりすることを考えると矛盾することもありますけど、まぁツモ順の誤差なんかたいしたことないです。
・t1:リーチ者がリーチをかけた順目。t0>t1である。
・t2:自分がリーチをかける順目。t0<t2である。
・n:現在順目t_0における見えてない有効牌の枚数。一向聴のときなら聴牌化する牌の枚数で、リーチのときは和了牌の枚数

まず1順当たり聴牌化率r(t)ですけど、まず現在順目t0において8764646.png

と推定できます。ここで、136は全部の牌の枚数(34×4)、13は自分の手牌の枚数、1はドラ表示牌、次のカッコ内は全員の捨て牌の枚数です。自分のツモ順が2番目としたんで4(t_0-1)にプラス一枚で4t_0-3です。

次に将来時点でのr(t)ですが、他家からどれだけ有効牌が切られるかわかりませんし、単純に有効牌もそうでない牌も同様に切られる→現在順目と有効牌の濃度は変わらないと考えて
418471.png
としておきます。(よって、r(t)は将来順目tにはよらない。ここで現在順目t_0にはよっているのですが、今後書くのが面倒なのでt_0に依存することは前提として、単にrと書きます。以下で議論するパラメータについてもt_0に依存することは前提として記号表記します。)

次に追っかけリーチ一順当たりツモ上がり率u(t)とリーチ者1順当たりツモ上がり率q(t)についてです。

q(t)のほうは、リーチがかかった時点のツモ率q(t_1)を345634834.pngとしてそれ以降のq(t)を計算していきたい所ですが、実際はこれをちょっと修正します。ただやや難易度高い内容なんで次の段落は読み飛ばしてもいいです。(ただし、t_1時点ではツモ上がりはないですけどね)

修正というのはq(t)の計算をするときに「t順目の先制リーチ者のツモ番がくる」という条件がつくのでそれによってq(t_1)が変化します。具体的にはt順目まで上がれないという条件から先制リーチの悪形率が上がります。その計算にベイズの定理を使います。
W:t順目の先制リーチ者のツモ番がくる
A:先制リーチが悪形
R:先制リーチが良形
というふうに事象を定義すると、t順目の先制リーチ者のツモ番がくる条件下の先制リーチが悪形である確率は
4864567.png
です。元の悪形率35%のかわりにこれを入れてq(t_1)を求めます。例えばt-t_1が3のとき(3順後のツモを迎える)、悪形率は38.6%に上がります。

2段落目の式から、(見えてない有効牌の枚数)=(1順当たりツモ率)×(見えてない牌の枚数)でリーチ後は見えてない有効牌の枚数は変化しないことからq(t)は次のように求まります。
khgsdroghtweogre.png
(qはt1にもよるためこうゆう表記になる)
ただし4t_1-2はリーチ前の全員の捨て牌、2(t-t_1)はリーチ後の全員の捨て牌のうち自分とリーチ者の分です。(降り2人分は和了牌をつかんでも手牌に残すので山から和了牌をツモったか判別できない。よって計算から除外する。)

u(t)について、t2時点ではrのときと同じ理由から下の式で推定できます。(ただしt2時点ではツモ上がりはないですけど)
hagsdghla.png
t2以降の考え方はqのときと同様で
asdf;jgf;agjia

pとqについてグラフで書くと下のようになります。ただし、残り和了牌は6枚で、相手の先制リーチ順目t1はリーチ順目t0=t2を2/3倍して切り上げした順目とします。(7順目リーチなら5順目、13順目リーチなら9順目。まぁこれぐらいの見積もりがよくある状況でしょう。)
rep01-16.png
リーチ順目が遅いほどツモ率が高いのは残り和了牌を6枚で固定してるからです。実際は遅いリーチほど残り和了牌は少なくなることが多いので、少なくなった分だけグラフは下に下がります。
rep01-17.png
こっちは先制リーチの順目の依存度がかなり小さいですねぇ。また案外補正効果が強く出て順目が深くなってもそこまでツモ率が上がらない。



とここまでで有効牌の数をパラメータに影響させるところまでできました。これを使ってベタ降りと追っかけリーチの和了率を出します。記号の定義は以前と同様で、w:和了率、h:放銃率、k:被ツモ率、r:流局率です。だいたい以前と一緒ですけどパラがtとかによるせいでやたら複雑になってます。

まずベタ降りから(3人降り)。
aghag;leu
(ただしΠは積をあらわす)
まだ漸化式解ける。

次に追っかけリーチ(他二人降り)
gahd;goiyerty;
(めんどくさいのでwとかがt1t2によるのは省略しました。)
もう漸化式解けない。

これにさらにリーチ宣言牌の放銃率xの要素を入れますが式は省略します。というか漸化式のままでは書けないし。hは元の確率の(1-x)倍にxを加え、それ以外は元の確率を(1-x)倍します。

和了率等のグラフは下のとおり。(現在順目でのベタ降りと追っかけリーチにおける確率、つまりt0=t2。t1はさっきと同様。残り和了牌は6枚。宣言牌は片無筋(放銃率は時間依存)。)
rep01-18.png
追っかけリーチ和了率の早順がちょっと下がってるのはpのときと同様、残り和了牌を6枚に固定してるせいです。いろんなパラを固定してるのでこのグラフから即順目ごとの比較ができるわけではないです。
前のグラフと比べると中順での和了率が10%弱ぐらい上がってます(割を食ったのは流局率)。中順で残り6枚ならそれなりに頻度は高いだろうしこれはけっこう重大な変化になりそうです。ベタ降りは大して変わってないけどそれはそれでいい。

残り和了牌3枚と9枚(悪形と3面待ちの想定)でもグラフを書いてみよう。
rep01-19.png
こちらも前と比べて中順の和了率がマシになってちょっと救われそうだ。
rep01-20.png
両面と比べて和了率10%増しか・・・そんなものなのかな。

それぞれの期待値は前と同様。R:追っかけリーチの期待値、B:ベタ降りの期待値。再掲しておく。
a06a30c031ceedbec8981babc5d7b237_90_black.png
f59a1f5034e43c34d5d090dd25db5b1c_90_black.png
また一向聴の価値は下の式(これも再掲。ただしqのかわりにq(t、t1)になる。書いてないけどもちろんCやαはt1t2その他もろもろのパラメータによってる。)
8fd6b0ee314cf90cc7b6ab36fc66e8a7_90_black.png
αは下式の右辺
0b49373e03774d7474c0d10d89834e53_90_black.png
めっちゃ長くて難しかったけど理論は終わり次回計算してみましょ。
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