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配牌が一色に偏る確率
昨日ツイッターに次のような問題を出しました。

問1
中が見えない箱に50個の赤玉と50個の白玉を入れて、そこから無作為に20個を取り出しました。(一度取り出した玉は箱に戻さない。)
このとき、取り出した赤玉と白玉の個数の比率が2倍以上違う(今回は赤玉14個以上か赤玉6個以下)確率で一番近いものは?

問2
14枚の配牌をもらったときにマンズが8枚以上ある確率で一番近いものは?

問3
14枚の配牌をもらったときに一番多い色の枚数+字牌の枚数が10枚以上ある確率で一番近いものは?

最終的には問3の配牌が一色に偏る確率を求めたいわけですが、いきなりこれを解くにはちょっと難しいので、数学の入試問題みたいに簡単な小問から段階を踏んでいくことにします。


問1の解法

確率の定義通り、同様に確からしい場合の数をカウントして、該当する件数から全体の件数で割り算をします。

50個の赤玉と50個の白玉にそれぞれ1~50番と51~100番までの番号をつけて、どの20個の番号を引いてくるかの組み合わせを考えます。

すべての組み合わせの場合の数は100個のうち20個を取る組み合わせの数で100C20です。

次に赤玉がk個である場合の数を数えます。
組み合わせを考えており、取ってくる順番は関係ないので、赤玉k個と白玉20-k個それぞれに分けて考えます。
50個の赤玉からk個を取る組み合わせの数が50Ckで、50個の白玉から20-k個を取る組み合わせの数が50C_{20-k}です。
赤玉の組み合わせ50Ck個のそれぞれ1個の取り方に対して、白玉の取り方50C_{20-k}個が対応しているので、
20個中、赤玉がk個であるすべての組み合わせの数は両者の掛け算で、50Ck×50C_{20-k}となります。
この数え方で、重複も漏れもないことをご確認ください。

赤玉が0個~20個の組み合わせの数のそれぞれの値は下の表のとおりです。
180715-01.png
今回は赤玉が6個以下もしくは14個以上になる確率なので、それらに対応する場合の数を全体(100C50)で割り算することで、
7.84%という答えになります。


問2の解法

100個の玉が136枚の牌に、50個の赤玉がマンズ36枚に、取ってくる玉の数20個が配牌14枚に変わるだけで、考え方は問1と同じです。

すべての組み合わせの数は136C14通り
マンズがk枚である組み合わせの数は36Ck×100C_{14-k}通りです。
180715-02.png
マンズが8枚以上の確率は1.04%です。


問3の解法

今度は字牌の枚数もからんでくるので、複雑さは増しますが、これまでの応用でなんとか計算していきます。

すべての組み合わせの数は問2と同じく136C14です。

14枚の配牌に含まれる字牌の枚数ごとに場合分けをします。
・字牌の枚数が0枚~5枚の場合(字牌の枚数をj枚とする。)
求めるものはマンズが10-j枚以上、もしくはピンズが10-j枚以上、もしくはソーズが10-j枚以上の組み合わせの数です。
ここで「マンズが10-j枚以上」「ピンズが10-j枚以上」「ソーズが10-j枚以上」というそれぞれの事象は排反(同時に成立することがない)になっています。
例えば字牌の枚数が5枚だと、「マンズが5枚以上」であれば残りの数牌は4枚以下なので、「ピンズが5枚以上」「ソーズが5枚以上」は成立することはありません。
これは字牌の枚数が5枚以下ならすべて同様です。

よって、求める組み合わせの数は「字牌がj枚、マンズが10-j枚以上」の組み合わせの数の3倍を取ればよいことになります。

「字牌の枚数がj枚、マンズがk枚」となる組み合わせの数は
字牌については28Cj通り、マンズについては36Ck通り、ピンズソーズについては72C_{14-j-k}通りであり、
字牌の取り方1件とマンズの取り方1件に対して、ピンズソーズの取り方は独立に72C_{14-j-k}通り取れるので、求める組み合わせの数はこれらの掛け算で、28Cj×36Ck×72C_{14-j-k}通りです。
この数え方で重複や漏れがないことをご確認ください。

「一番多い色の枚数+字牌の枚数が10枚以上」に該当する字牌j枚とマンズk枚のパターンは下図の黄色で塗ったところです。これらの和を取って3倍(マンズ、ピンズ、ソーズの3色)して、全体の組み合わせ数である136C14で割ったものが一番右の列になります。

・字牌の枚数が6枚のとき
字牌が6枚、数牌が8枚の取り方は今まで同様、28C6×108C8通りです。
このうち、一番多い色の枚数が4枚以上とならないマンズピンズソーズの枚数のパターンは{3,3,2}、{3,2,3}、{2,3,3}の3パターンのみなので、これらのパターンの組み合わせ数を28C6×108C8から引き算します。
字牌6枚マンズ3枚ピンズ3枚ソーズ2枚の組み合わせ数は28C6×36C3×36C3×36C2通りで、
マンズ2枚のケースとピンズ2枚のケースも同じ数あるので、3倍したものを28C6×108C8から引けばOKです。

・字牌の枚数が7枚以上のとき(字牌の枚数をj枚とする。)
この場合は数牌14-j枚をどのようにマンズピンズソーズに振り分けても必ず「一番多い色の枚数+字牌の枚数が10枚以上」が成立します。
例えば字牌7枚数牌7枚ならマンズピンズソーズの枚数がすべて2枚以下にはならず、必ずどれかの色が3枚以上にはなります。
よってこの場合は「字牌の枚数j枚、数牌の枚数14-j枚」の組み合わせ数を数えればよいことになります。
その数は28Cj×108C_{14-j}通りです。
180715-03.png
以上、字牌が0枚~14枚のすべてに対して「一番多い色の枚数+字牌の枚数が10枚以上」の組み合わせ数を数え上げることができました。すべて足し算して全体の136C14で割ると、「一番多い色の枚数+字牌の枚数が10枚以上」の確率は14.3%です。
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