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リーグ戦に関する考察その2・直対編
前回に引き続き、AI研究のやる気低下中につき、小ネタ的話題で。

リーグ戦の勝ち負けについて普通の1試合単位感覚で1%とか3%昇級率を動かしていましたが、よくよく考えればリーグ戦は試合数が多いので、実力差があればもっと昇級率降級率は動くんじゃない?と思いました。

そこで今回は以下の条件で、複数試合の総合ポイントで争う形式の勝率を調べてみました。
・対戦者は4名の直接対決
・各試合の順位分布(1-2-3-4とか3-2-4-1など24通り)は既知とする。(今回はトップ率26%の場合とトップ率27%の場合の2パターンを用意)
・順位点はオカ20000点、ウマ10-30。素点は無視する。(点数の並びが40000-30000-20000-10000で、上から60pt-10pt--20pt--50ptで固定する。)
・試合数は4試合、16試合、64試合の3パターンを用意。
・試合数的に終盤で差がついて条件戦の思考が入るとかは考慮しない。
・シナリオ数10万回のモンテカルロシミュレーション

結果はこんな感じ↓。

181129-01.png
平均順位2.47(トップ率26%、ラス率24%)のケースだと、優勝率は4試合戦で26.8%、16試合戦で28.3%、64試合戦で31.7%となってます。
周りよりちょっとレベルが上くらい(鳳凰卓安定段位で言うと7.625)だと64試合やってもまだまだ運ゲー感はぬぐえない感じでしょうか。まぁでも4分の1よりは優勝率が6%くらい上がる余地はありそう。

平均順位2.43(トップ率27%、ラス率23%、鳳凰卓安定段位で8.4348)のケースだと優勝率はもうちょっと上がって、64試合戦だと41.7%くらいまでいきます。
自分だけワンランク上の実力で64試合やれば42%優勝できるというのを見ると、多少は実力は反映されているとみるか、しょせんは運ゲーだ、とみるかはおまかせします。
確かMリーグは80試合戦だったような気がするので、たぶんこのケースに近いかと。


仮に4人の直対の優勝確率と16人のリーグ戦の昇級確率が同程度とすれば、実力によって、6%とか17%とか昇級率に差が出るということは十分考えられる話です。
とりあえず昇級率+6%、降級率-6%で前回と同じ計算をするとこんな感じ↓。
181129-02.png
さすがに±6%とかまでくると、だいぶ景色が違って見えるような。
B2スタートでも、3~4割くらいはAリーガーにはなれる見込みはあると。実力的に平均順位2.47が取れるのであれば。

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リーグ戦に関する考察
今日は体調がびみょうで、あまり難しいことを考える気分ではないので、軽いネタでお茶を濁すことにします。

プロ団体はいろいろあると思いますが、共通点としてはリーグ戦が行われていて、その結果で昇級とか降級が決まるというところだと思います。

今回はnシーズン後に該当プレイヤーがどのクラスに属しているのかという確率分布をモンテカルロシミュレーションによって出してみようと思います。

仮定は↓のような感じで。
・D4~Aクラスまで10クラス×16名+チャンピオンが1名
・B1クラス以下は1シーズン終了後に上位4名昇級、下位4名降級
・Aクラスは上位3名がチャンピオン決定戦に出場、下位4名降級
・チャンピオン決定戦はAクラス上位3名と現チャンピオンの4名で争われ、勝者1名が新チャンピオンに、敗者3名はAクラスになる。
・nシーズン後の所属クラスを調べる。(n=5,8,10の3パターン)
・初期のクラスはD4・C3・B2・Aの4パターンで調べる。
・昇級率・降級率については、平均と同じ実力の場合(昇級率25%、降級率25%)、ちょっとだけ周りより実力が高い場合(昇級率26%、降級率24%)、周りよりかなり実力が高い場合(昇級率28%、降級率22%)の3パターンで調べる。(クラスが上がるほど面子の実力が上がって昇級しづらくなるとかは今回は考慮しない。)

結果はこんな感じ↓。
181123-01.png

以下、私から見た雑感。
・何はともあれ、初期の所属クラスが一番重要。
・実力があるなら多くのシーズンをこなしたほうが上のクラスにいきやすい。周りよりちょっとレベルが高いくらいならあまり効果があるとはいいがたいが。
・初期クラスがAクラスなら、実力があまりなくても4割~6割くらいはAクラス以上を維持できる。

今日はこんなところで。
プロのリーグ戦に近い立場で分析好きの方は、まぁてきとうに見て研究してくだされば幸いです。
理牌をするための必要並べ替え回数
今日はちょっとした小ネタを思いついたので、Pythonの練習がてらにやってみました。

リアル麻雀で、普通に山から4枚ずつ取ってくるのでも、自動配牌卓でもどちらでもいいですけど、
配牌を取ってくると普通は牌の順番がばらばらなんで理牌する必要がありますよね。

理牌をするための牌の入れ替え回数って平均で何回くらいなんだろう?というのが今回のテーマです。

並べ替えの法則は以下の通りとします。

①13枚の配牌をランダムに取る。
②左側にソート済みの手牌、右側に未ソートの手牌を置く。
③左からi(i=2~13まで繰り返し)番目の牌について、ソート済み手牌の右端の牌より牌番号(マンズ1~9、ピンズ10~18、ソーズ19~27、字牌28~34。赤牌は区別しないものとする。)が小さい場合、ソート済み手牌の中の適切な場所に左からi番目の牌を移し、入れ替え回数を+1する。ソート済み手牌の右端の牌と同じ牌か牌番号が大きい場合はそのままの順番で合ってるので、次のi+1番目の牌の比較へと移る。
④ ①~③を10万回繰り返し、各シナリオの牌の入れ替え回数を記録する。

だいぶ原始的なソート方法です。専門用語で〇〇ソートとかいう名称がついてるんでしょうけど、詳細は知らないです。

ソースコードはこんな感じ↓。
181020-05.txt

結果はこんな感じ↓。
181020-04.png

平均値は9~10回くらいの並べ替え回数になってます。めんどくさいですね。

熟練者だと色とか昇順降順を変えるとかで、もっと並べ替え回数の少ない方法があったりするんでしょうけど、私レベルではよくわからないです。

今日の結論:自動理牌のあるネット麻雀は神。
配牌が一色に偏る確率
昨日ツイッターに次のような問題を出しました。

問1
中が見えない箱に50個の赤玉と50個の白玉を入れて、そこから無作為に20個を取り出しました。(一度取り出した玉は箱に戻さない。)
このとき、取り出した赤玉と白玉の個数の比率が2倍以上違う(今回は赤玉14個以上か赤玉6個以下)確率で一番近いものは?

問2
14枚の配牌をもらったときにマンズが8枚以上ある確率で一番近いものは?

問3
14枚の配牌をもらったときに一番多い色の枚数+字牌の枚数が10枚以上ある確率で一番近いものは?

最終的には問3の配牌が一色に偏る確率を求めたいわけですが、いきなりこれを解くにはちょっと難しいので、数学の入試問題みたいに簡単な小問から段階を踏んでいくことにします。


問1の解法

確率の定義通り、同様に確からしい場合の数をカウントして、該当する件数から全体の件数で割り算をします。

50個の赤玉と50個の白玉にそれぞれ1~50番と51~100番までの番号をつけて、どの20個の番号を引いてくるかの組み合わせを考えます。

すべての組み合わせの場合の数は100個のうち20個を取る組み合わせの数で100C20です。

次に赤玉がk個である場合の数を数えます。
組み合わせを考えており、取ってくる順番は関係ないので、赤玉k個と白玉20-k個それぞれに分けて考えます。
50個の赤玉からk個を取る組み合わせの数が50Ckで、50個の白玉から20-k個を取る組み合わせの数が50C_{20-k}です。
赤玉の組み合わせ50Ck個のそれぞれ1個の取り方に対して、白玉の取り方50C_{20-k}個が対応しているので、
20個中、赤玉がk個であるすべての組み合わせの数は両者の掛け算で、50Ck×50C_{20-k}となります。
この数え方で、重複も漏れもないことをご確認ください。

赤玉が0個~20個の組み合わせの数のそれぞれの値は下の表のとおりです。
180715-01.png
今回は赤玉が6個以下もしくは14個以上になる確率なので、それらに対応する場合の数を全体(100C50)で割り算することで、
7.84%という答えになります。


問2の解法

100個の玉が136枚の牌に、50個の赤玉がマンズ36枚に、取ってくる玉の数20個が配牌14枚に変わるだけで、考え方は問1と同じです。

すべての組み合わせの数は136C14通り
マンズがk枚である組み合わせの数は36Ck×100C_{14-k}通りです。
180715-02.png
マンズが8枚以上の確率は1.04%です。


問3の解法

今度は字牌の枚数もからんでくるので、複雑さは増しますが、これまでの応用でなんとか計算していきます。

すべての組み合わせの数は問2と同じく136C14です。

14枚の配牌に含まれる字牌の枚数ごとに場合分けをします。
・字牌の枚数が0枚~5枚の場合(字牌の枚数をj枚とする。)
求めるものはマンズが10-j枚以上、もしくはピンズが10-j枚以上、もしくはソーズが10-j枚以上の組み合わせの数です。
ここで「マンズが10-j枚以上」「ピンズが10-j枚以上」「ソーズが10-j枚以上」というそれぞれの事象は排反(同時に成立することがない)になっています。
例えば字牌の枚数が5枚だと、「マンズが5枚以上」であれば残りの数牌は4枚以下なので、「ピンズが5枚以上」「ソーズが5枚以上」は成立することはありません。
これは字牌の枚数が5枚以下ならすべて同様です。

よって、求める組み合わせの数は「字牌がj枚、マンズが10-j枚以上」の組み合わせの数の3倍を取ればよいことになります。

「字牌の枚数がj枚、マンズがk枚」となる組み合わせの数は
字牌については28Cj通り、マンズについては36Ck通り、ピンズソーズについては72C_{14-j-k}通りであり、
字牌の取り方1件とマンズの取り方1件に対して、ピンズソーズの取り方は独立に72C_{14-j-k}通り取れるので、求める組み合わせの数はこれらの掛け算で、28Cj×36Ck×72C_{14-j-k}通りです。
この数え方で重複や漏れがないことをご確認ください。

「一番多い色の枚数+字牌の枚数が10枚以上」に該当する字牌j枚とマンズk枚のパターンは下図の黄色で塗ったところです。これらの和を取って3倍(マンズ、ピンズ、ソーズの3色)して、全体の組み合わせ数である136C14で割ったものが一番右の列になります。

・字牌の枚数が6枚のとき
字牌が6枚、数牌が8枚の取り方は今まで同様、28C6×108C8通りです。
このうち、一番多い色の枚数が4枚以上とならないマンズピンズソーズの枚数のパターンは{3,3,2}、{3,2,3}、{2,3,3}の3パターンのみなので、これらのパターンの組み合わせ数を28C6×108C8から引き算します。
字牌6枚マンズ3枚ピンズ3枚ソーズ2枚の組み合わせ数は28C6×36C3×36C3×36C2通りで、
マンズ2枚のケースとピンズ2枚のケースも同じ数あるので、3倍したものを28C6×108C8から引けばOKです。

・字牌の枚数が7枚以上のとき(字牌の枚数をj枚とする。)
この場合は数牌14-j枚をどのようにマンズピンズソーズに振り分けても必ず「一番多い色の枚数+字牌の枚数が10枚以上」が成立します。
例えば字牌7枚数牌7枚ならマンズピンズソーズの枚数がすべて2枚以下にはならず、必ずどれかの色が3枚以上にはなります。
よってこの場合は「字牌の枚数j枚、数牌の枚数14-j枚」の組み合わせ数を数えればよいことになります。
その数は28Cj×108C_{14-j}通りです。
180715-03.png
以上、字牌が0枚~14枚のすべてに対して「一番多い色の枚数+字牌の枚数が10枚以上」の組み合わせ数を数え上げることができました。すべて足し算して全体の136C14で割ると、「一番多い色の枚数+字牌の枚数が10枚以上」の確率は14.3%です。
裏ドラ効率と和了率補正
昨日、河の強さと和了率の関係をやってみて、派手に失敗したところですが、
かまわず、裏ドラ効率との兼ね合いを見ていきます。

想定する手牌は平和手で、まったく重なりがない手牌。
150426-01.png
見えてないのは136枚-14枚の122枚で、
河の強さ重視で打1mとすると、裏1になる裏ドラ表示牌は39枚、裏2になる裏ドラ表示牌は4枚。
裏ドラ効率重視で打4mとすると、裏1になる裏ドラ表示牌は40枚、裏2になる裏ドラ表示牌は4枚。

3mを1枚使ってるのと、9mを1枚も使ってないことの1枚の違いのみです。
その1枚差で、裏1率は0.8%くらい変わります。

この裏ドラ率の差で和了時の打点がどのように変わるか。
メンピンで、一発率20%、ツモ率50%として計算すると…
150426-02.png
打1mの和了時打点3718点に対し、打4mの和了時打点3738点で、20点差があります。
見えてないの1枚につき20点と覚えておきましょう。

7巡目両面先制リーチの和了率65%をかけると13点差。これは局期待値ベースでの差となります。

7巡目先制平和リーチをかけた時点での局期待値は1700点なので、リーチが実際に上がれた時の利益は3700点-1700点
で2000点。13点/2000点で0.66%。

つまり、山に裏1になる牌が1枚多い≒裏1率0.8%上昇≒和了時打点20点上昇と、
和了率の上昇が釣り合いが取れるところが0.66%。

もし、打1mとすることで打4mより0.66%以上(河の強さにより)和了率が向上すると読めるなら河の強さで打1mが優位、
(河の強さによる)和了率向上が0.66%未満ならば裏ドラ効率で打4mが優位ということになります。

さて、どちらでしょうね。
河の強さで和了率がどの程度向上するかは昨日失敗したので、わからないですが。
どちらを取ってもかなりの微差なので、他の色々な状況でどうにも変わってきそうな気もします。

実際は9mと3mの場況(切れてる枚数)もあるので、より複雑でしょうが、目安にはなりそうです。
150426-03.png
ドラが1枚ある場合。
9mが山に1枚多いことにより、和了時打点は25点増えて、和了率向上に換算すると0.55%相当。
ドラ0の時に比べて、和了そのものの価値が高いので、裏ドラ効率の打4mより若干河の強さの打1m寄り。

ドラ2の時。
満貫の天井効果が強く出て和了時打点は15点しか増えない。その一方、和了そのものの価値は上がってるので、
打点上昇15点分は和了率向上に換算すると、0.30%にしかならない。
より打1m寄りになるといえるでしょう。
プロフィール

nisi5028

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